By Herbert R. Petry, Bernard Christiaan Metsch

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H. d dt T = 0. (d) Zeige, daß T t = T . (e) Zeige, daß T L = 0. (f) Zeige, daß 1 m(ω 2 |x|2 + |x| ˙ 2) , 2 und interpretiere das Resultat. tr[T ] = (g) Zeige, daß x, T x = tr T |x|2 − |L|2 . 2m (h) Zeige, daß es eine Drehung O gibt, so daß ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 ε1 0 0 T = O ⎝ 0 ε2 0 ⎠ O−1 , O L = ⎝ 0 ⎠ , |L| 0 0 0 die Vektoren Ox und Ox˙ in der 1 − 2-Ebene liegen und daß gilt: |L|2 . 2m Interpretiere das Resultat geometrisch. ε2 (x1 )2 + ε1 (x2 )2 = (i) Zeige, daß gilt: 1 tr[T 2 ] = (tr[T ])2 − ω 2 |L|2 , 2 und zeige, wie man die Eigenwerte ε1 , ε2 von T aus der erhaltenen Energie und dem Drehimpuls gewinnt.

2: Bewegung in einem homogenen Magnetfeld Ein Magnetfeld B allein kann ein Teilchen also auch nicht einfangen; es besteht immer die Möglichkeit, in Richtung des Magnetfeldes selbst zu entwischen. Fall c: Q = 0, B = 0: Jetzt betrachten wir den allgemeinen Fall Q = 0, B = 0 mit m¨ x = q Qx + 1 [x, ˙ B] , c den wir in ein lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung für y = (x, v) überführen: y˙ = C y. C ist in Blockmatrixschreibweise durch C= 0 q mQ 1I q − mc A(B) gegeben. A(B) ist die schiefadjungierte lineare Transformation (vergl.

Fn (t)) dt . . + w(f1 (t), f2 (t), . . , f˙n (t)) . , . x(t) sei eine zweimal stetig differenzierbare Kurve in V . Zeige: (a) (c) d ˙ x˙ dt x, d |x| = dt = 2 x, ˙ x ¨ , x,x˙ , |x| (b) (d) d ˙ = [x, x ¨] , dt [x, x] [x,[x,x]] ˙ d x = − dt |x| |x|3 . Eine sehr nützliche Anwendung ist durch folgende Formel gegeben: Sei V jetzt ein ndimensionaler, reeller Vektorraum mit Volumenform Δ , A : V → V und B := exp [A] . (e) Zeige: det(B) = exp (tr [A]) . 37) Hinweis: Erkläre durch A(τ ) = τ A eine 1-parametrige Schar von Abbildungen und zeige, daß det(B(τ )) der Differentialgleichung d det(B(τ )) = tr [A] det(B(τ )) dτ genügt.

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