By Pierre Lelong

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5. 2. Der Differentialoperator ∂ 1 = ∂z 2 ∂ ∂ +i ∂x ∂y heißt Operator der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. In der Forderung nach komplexer Differenzierbarkeit ist also die gleichzeitige Forderung nach dem Bestehen einer zusätzlichen partiellen Differentialgleichung enthalten: holomorphe Funktionen sind die differenzierbaren Lösungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ∂f (z) ≡ 0. ∂z (9) Das macht plausibel, dass holomorphe Funktionen besondere Eigenschaften haben, die reell differenzierbaren Funktionen im Allgemeinen nicht zukommen – weder in einer noch in zwei Variablen.

2ν + 1)! ν=0 ν=0 ∞ cosh z = z 2ν (2ν)! ν=0 ∞ sinh z = z 2ν+1 (2ν + 1)! ν=0 7. Elementare Funktionen vi. 35 eiz = cos z + i sin z sin2 z + cos2 z ≡ 1 vii. cosh2 z − sinh2 z ≡ 1. Aus v geht hervor, dass für reelles z die obigen Funktionen mit den aus der reellen Analysis bekannten trigonometrischen bzw. hyperbolischen Funktionen übereinstimmen. Die Beziehung vi liefert auch die Zerlegung von ez in Real- und Imaginärteil (ebenfalls als Eulersche Formel bekannt): ex+iy = ex (cos y + i sin y). 6. Die Nullstellen des Sinus sind die reellen Zahlen kπ, k ∈ Z, die des Cosinus π 2 + kπ, k ∈ Z.

Natürlich können wir die Aussagen sofort auf Potenzreihen P (z − z0 ) mit beliebigem Entwicklungspunkt übertragen: der Konvergenzkreis hat dann den Mittelpunkt z0 . 6 ist eine unmittelbare Konsequenz. Es sei also |aν ||z1 |ν ≤ M für alle ν. Wir wählen z2 mit 0 < |z2 | < |z1 | und erhalten für |z| ≤ |z2 |: |aν ||z|ν ≤ |aν ||z2 |ν = |aν ||z1 |ν z2 z1 ν ≤ M qν mit q = |z2 |/|z1 | < 1. 1 die absolut gleichmäßige Konvergenz im Kreis D|z2 | (0). Mit geringer zusätzlicher Mühe könnten wir auch die Cauchy-Hadamardsche Formel r= 1 lim sup ν |aν | für den Konvergenzradius zeigen: wir stellen sie als Aufgabe 3.

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