By Oliver Deiser

Das Buch untersucht die reellen Zahlen unter verschiedenen grundlagentheoretischen Gesichtspunkten. Ziel ist, die Komplexität dieser einzigartigen mathematischen Grundstruktur sichtbar zu machen.

Im ersten Teil richtet sich der Blick auf die arithmetische Zahlengerade. Der Bogen spannt sich hier zunächst von der Entdeckung der irrationalen Zahlen durch die alten Griechen über das Kontinuumsproblem bis hin zu modernen Konstruktionsmöglichkeiten. Nach einer examine euklidischer Isometrien werden dann ausführlich Grundfragen der Maßtheorie behandelt (Probleme des Messens, Banach-Tarski-Paradoxon, Existenz bewegungsinvarianter Inhalte, Fortsetzungen des Lebesgue-Maßes).

Der zweite Teil des Buches untersucht den zu den irrationalen Zahlen homöomorphen Raum aller Folgen natürlicher Zahlen und allgemeiner polnische Räume. Die Themen umfassen Regularitätseigenschaften von Teilmengen reeller Zahlen, irreguläre Mengen, Borel-Mengen und projektive Mengen. Das Buch schließt mit einer Einführung in die Theorie der unendlichen Zweipersonenspiele.

Show description

Read or Download Reelle Zahlen: Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen PDF

Best analysis books

Systems Analysis and Modeling in Defense: Development, Trends, and Issues

This booklet comprises the court cases of an interna­ tional symposium dedicated to Modeling and research of safeguard strategies within the context of land/air battle. It used to be subsidized by means of Panel VII (on protection purposes of Operational study) of NATO's safeguard learn workforce (DRG) and happened 27-29 July 1982 at NATO headquarters in Brussels.

Extra resources for Reelle Zahlen: Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen

Sample text

Beweis Annahme, e = n/m für n, m  ‫ ގ‬+ . Sei r = m! ) . Nach Annahme ist dann r  ‫ގ‬, insbesondere also r t 1, da r ! 0. Aber r = 6 k ! /k!  6 k t 1 1/(m + 1)k = 1/(1 − 1/(m + 1)) − 1 = 1/m d 1, Widerspruch! Eine Variation dieser Beweisidee, die die reelle Analysis zu Hilfe nimmt, zeigt die Irrationalität von S. Das Argument besticht eher durch seine Kürze als durch 46 1. Abschnitt Das klassische Kontinuum seine Transparenz. Ob „Trickkiste der Analysis“ oder vielmehr „Reichtum des analytischen Dschungels“ − wir überlassen die Entscheidung hierüber dem Leser.

Zur Tradition der „Mathematiker“ zählen Hippasos und auch Platon und Aristoteles. Auf das Verhältnis zweier Größen kommt es also an, und dieses ist, so das Postulat, immer auch das Verhältnis zweier Vielfacher einer Einheit. So wie man zwei Strecken der Längen n und m durch iteriertes Aneinanderlegen von Stäben der Länge 1 perfekt ausmessen kann, so kann man doch auch zwei beliebige Strecken der Länge x und y durch iteriertes Aneinanderlegen von Stäben der Länge z restlos ausmessen, wenn man z geeignet wählt.

Sei [ m 0 , …, m i ] eine Kettenbruchdarstellung von r. Dann existiert ein kleinstes k d i mit m k z n k , da sonst r = q i . Sei zunächst k ungerade, sodaß [ n 0 , …, n k − 1 , ˜ ] streng monoton fällt. Ist m k  n k , so ist q k = [n 0 , …, n k ] d [m 0 , …, m k + 1] = [m 0 , …, m k , 1] d r. Ist m k ! n k , so ist r d [m 0 , …, m k ] d [n 0 , …, n k + 1] = [n0 , …, n k , 1] d q k + 1 . In beiden Fällen ergibt sich ein Widerspruch zur Wahl von r. Der Fall „k gerade“ wird analog widerlegt. Also ist q g = q u  ‫ ޒ‬− ‫( ޑ‬und q g = q u = lim k → f [ n 0 , …, n k ]).

Download PDF sample

Rated 4.37 of 5 – based on 9 votes