By Martin Ziegler

Dieses Buch bietet eine Einf?hrung in die verschiedenen Aspekte der mathematischen Logik. Nach dem Praedikatenkalk?l und seinen Anwendungen auf die Anf?nge der k?nstlichen Intelligenz stellt der Autor die Mengenlehre axiomatisch dar. Im dritten und vierten Teil f?hrt er die Grundbegriffe der Berechenbarkeitstheorie und die Hierarchie der Teilmengen ein, um schlie?lich die G?delschen Unvollst?ndigkeitss?tze zu beweisen. Dieser Band zeichnet sich durch einen klaren Schreibstil aus und enth?lt zahlreiche ?bungsaufgaben.

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Sei p eine Variable, C = {p} ∪ P und D = {¬ p} ∪ Q zwei Klauseln. Dann ist P ∪ Q eine Resultante von C und D. Definition Die Resolutionsmethode, [21]. Eine endliche Menge C von Klauseln ist genau dann allgemeing¨ultig, wenn sich aus C durch sukzessives Bilden von Resultanten die leere Klausel ergibt. Satz Die eine Richtung des Satzes ist klar: Wenn C aus C durch Hinzuf u¨ gen von Resultanten entsteht, werden C und C von den gleichen Belegungen erf u¨ llt. Wenn C die leere Klausel enth¨alt, ist C allgemeing¨ultig und darum auch C.

Ubungsaufgaben Aufgabe 15. Eine Menge T von aussagenlogischen Formeln heißt erfu¨ llbar, wenn es eine Belegung der Variablen gibt, bei der alle Formeln aus T wahr werden. Der Kompaktheitssatz der Aussagenlogik besagt: T ist genau dann erf u¨ llbar, wenn jede endliche Teilmenge von T erf u¨ llbar ist. Beweisen Sie den Kompaktheitssatz der Aussagenlogik auf zwei Weisen: 1. 5). Betrachte eine Sprache L, die f u¨ r jede Aussagenvariable ein einstelliges Relationszeichen hat und u¨ bersetze T in eine L–Theorie.

Enaxiom, daß L∪C c = c und, weil T ∗ deduktiv abgeschlossen ist, c = c ∈ T ∗ . ∼ . . ist also reflexiv. Aus dem gleichen Grund ist (c = d ∧ d = e → c = e) ∈ T ∗ . Wenn . nun c = d ∈ T ∗ und d = e ∈ T ∗ , folgt, wegen der deduktiven Abgeschlossenheit, . c = e ∈ T ∗ . Damit ist ∼ transitiv. Ebenso folgt die Symmetrie aus dem dritten Gleichheitsaxiom. Wir setzen A = {ac | c ∈ C}. Jetzt m¨ussen wir f u¨ r jedes Relationszeichen R ∈ L eine Relation RA auf A finden, sodaß RA (ac1 , . . , acn ) (2) ⇔ R(c1, .

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