By Prof. Dr. M. J. Beckmann, Prof. Dr. H. P. Künzi, Dr. R. Landtwing (auth.)

Hiermit legen wir den zweiten Band der geplanten drei Teile der "Mathematik für Ökonomen" vor. Wie beim Band I über die research von Funktionen einer Veränderlichen haben wir eine auf die besonderen Bedürfnisse des Studiums der Wirtschaftswissen­ schaft und der Unternehmensforschung ausgerichtete Darstellung der linearen Algebra gewählt. Dabei haben wir uns bemüht, die mathematische Theorie mit Anwendungen aus diesen beiden Dis­ ziplinen zu verbinden. Beim vorliegenden Stoffgebiet ist es sinnvoll, zunächst in den Abschnitten 1-6 die Grundlagen zu schaffen und die Anwendungen in den Abschnitten 7-9 zusammenhängend zu bringen. Infolge der rasch fortschreitenden Entwicklung der mathe­ matischen Wirtschaftswissenschaft und der Unternehmensfor­ schung können wir keinen Anspruch auf Vollständigkeit der typi­ schen Modelle erheben, haben aber auf die Auswahl der Beispiele besondere Sorgfalt verwendet. Es hat sich als zweckmäßig erwiesen, die Ausführungen über die lineare Algebra vor die Behandlung der Funktionen mit mehre­ ren Veränderlichen zu stellen, für die nun der Band III vorgesehen ist. Zum Studium dieses Bandes sind aber keine Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung notwendig. Der Inhalt des vorliegenden Bandes beruht auf Aufzeichnungen von Vorlesungen, die H.P. KÜNZI während mehrerer Jahre an der Universität Zürich gehalten hat. Die Abschnitte mit den ökono­ mischen Anwendungen stammen zum großen Teil aus Kursen von M. BEcKMANN, die an der Brown collage, der Universität Bonn und der Technischen Universität München veranstaltet wurden. Die eigentliche Ausarbeitung des Textes, die zahlreichen Ergän­ zungen und die geschicktere Anordnung des Stoffes hat Herr Dr.

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Ami) A' = ( a~2 a f2 . . a 2 . T amn a1n a2n A' heißt die transponierte Matrix von A. Beispiel: (3 2 1) A= 5 0 7 ; Offensichtlich gilt nach Definition: (AT =A. An Stelle von A' schreibt man auch AT. Für Diagonalmatrizen, im besonderen für die Einheitsmatrizen, gilt: 1'=1. Definition 6: Eine Matrix S = (sij) heißt symmetrisch, wenn sie der Bedingung S=S' genügt; die Transposition führt die Matrix in sich über. Für die Elemente gilt dann sij = für alle i und j. Sji Eine symmetrische Matrix ist deshalb stets quadratisch.

Denn es folgt V'=(X + X')' = X' + (X')' = X' +X =X +X'= V . Dagegen ist die Differenz W=X-X' schiefsymmetrisch, denn es ist w' = (X - X')' = X' - (X')' = X' - X = - (X - X') = - W . 2 5 o B= ( 0 -2 2 0 -3 -6 A ist symmetrisch und B schiefsymmetrisch. Man bilde A A = A 2 und BB=B2. Man stellt insbesondere fest, daß die Potenzen An der symmetrischen Matrix A wiederum symmetrisch sind, und wegen der Beziehung (2) sind auch Polynome von Asymmetrisch. 5 Permutationsmatrizen und verwandte besondere Matrizen Gegeben seien eine Diagonalmatrix .

U(n -1) - u(n - 2)). · (u(n) - u(1)). ·· (u(n) - u(n - 2)). (u(n) - u(n -1)) oder n n (uU)-u(i)) . n j-1 j=2 ;= 1 Die Zahlen u(1), ... , u(n) unterscheiden sich nur in der Reihenfolge von den Zahlen 1, 2, ... , n ; also ist n n (uU)-u(i)) = ± n n (4) j-i j=2 ;= i n j-i nU-i). j= 2 ; = 1 Man betrachte ein beliebiges Zahlenpaar (k, Q aus den Zahlen 1,2, .. ,n mit kct(k), so ist auch der entsprechende Faktor auf der rechten Seite von (4) positiv, ist aber a(Q

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