By Franz Josef Fay

Bei der Behandlung linearer Optimierungsprobleme werden mathematische Kenntnisse benotigt, ilber die mancher Leser noch von seiner Schulzeit her ver filgen wird. Er kann dann der Losung der gestellten Probleme im nachfolgen den Abschnitt der Linearplanung wo l ohne groj3ere Schwierigkeiten folgen. Den weitaus meisten Lesern wird aber die dort verwendete Symbolik der Mengenlehre noch nicht geliiufig sein. Deshalb wird im ersten Kapitel eine Ein filhrung in die Mengenlehre gegeben. Sie wird nur so weit getrieben, als Sprache und Symbolik der Mengenlehre in den spiiteren Ausfilhrungen der Linearplanung Verwendung finden. Es muj3 insbesondere der Begriff der Er filllungsmenge von Gleichungs- und Ungleichungssystemen verstiindlich werden. Viele Benutzer dieses Buches werden dankbar sein, wenn in einem zweiten Kapitel diejenigen Grundbegriffe aus der Gleichungs- und Ungleichungslehre und aus der Funktionentheorie aufgefrischt und zusammenfassend dargestellt werden, die in den Rechnungen und Zeichnungen der Linearplanung auf treten. Die Behandlung von linearen Gleichungssystemen gibt Veranlassung, dem Leser eine Einfilhrung in die Determinantenlehre anzubieten. Da Determinanten und Matrizen in der WirtschaJtstheorie immer hiiufiger benutzt werden, dilrfte auch dieses Kapitel vie len Benutzern des Buches willkommen sein. Die Beherrschung des Rechnens mit Determinanten ist aber nicht Voraussetzung filr das Ver stiindnis der nachfolgenden Ausfilhrungen ilber Linearplanung.

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Structure and Representation of Jordan Algebras

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2. Die Gerad enschar del' Zi elfunktion A Ile Wertepaare (x ;y), di e den Punk ten innerhal b ode r a u f d em Rande des P olygons entsprechen, erfu lle n sam tliche Un gl eichun gen d es Syst ems. Urn a us d en u n endli ch vi elen Wertepaa r en dasjenige h er auszufinden, das d ie Gewinnfunktion G = 100 x + 250 Y d en grofsten Wert an n eh m en l aBt , muB di ese Funktion b etrachtet w erde n . Man laBt G ve rsuchsweise versch iede ne We rte a n n eh m en: F ur Fur Fur Fur G =O G =1 000 G =4000 G = 8000 100x 100x 100x 100x + + + + 250y 250y 250y 250y 0 1000 4000 8000 -+ -+ -+ Y Y Y Y "t.

Dieses Zrnax b zw. Zm;n ge h or t zu den b eid en ausgezeichneten Geraden d er Scha r, die nur no ch einen Punkt mit dem Polygon gemein sam haben. Si e miissen d aher durch eine Ecke des Polyg on s geh en. Al so li egt d er P un kt, dessen Ko ordin aten di e F unktion z ihren m ax im alen oder minim al en Wert an neh men lafrt , in ei nem Eckpunkt d es P olygons. Damit ist de r S at z b ewi es en. Man m u13 no ch eine n b es ond eren F all betrachten, n amlich d en , daf ein e a der P olygon seit en d ie glei che Steigung -b w ie d ie Zi elfunktion hat, sie also paralle l zu d er Geraden schar d er Zielf un k tion vcrlau ft , In di esem F all - m an n ennt ihn manchmal den "i n s t ab i 1 e n F all " - lassen alle Punkte di eser P olygon seite die Funktion z m axim al bzw .

81 liefert das Minimum. Die Koordinaten aller Punkte der 8trecke 8 384 laslen die Funktion z = ax + by = c maximal werden. Ubungsbelspiel Fur welche Wertepaare (x;y) nimmt die Funktion z= t x - y - 3 im Definitionsbereich I: x - II : 3x III : 2x IV: 3x V: 2x + + 4y ;;;;; y;;;;; 0 15 3y ~ -8 2y ~ 9 3y;;;;; 24 ihre optimalen Werte an? Los u n g: Die Funktion nimmt ihren kleinstmoglichen Wert Zmin = -7* im Punkt (4;5§-) an. Den grofitmoglichen Wert -3 nimmt sie in den Punkten und auf der 8trecke zwischen den Punkten (2r ; h) und (5fr ; 1141 ) , VII.

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