By Bertram Huppert, Wolfgang Willems, Wolfgang Willems

In diesem Buch findet der Leser neben dem ?blichen Grundkanon der Linearen Algebra auch weitertragende Erg?nzungen, die die Querverbindungen zu anderen Gebieten deutlich machen und zum tieferen Verst?ndnis der Grundbegriffe und Methoden hilfreich sind.Besonderer Wert wird dabei auf eine umfangreiche Darstellung vielseitiger, interessanter und moderner Anwendungen gelegt: Diese stammen vor allem aus den Gebieten Kryptographie, Codierungstheorie, Mathematische Physik sowie Stochastische Prozesse. Mit seiner breiten thematischen Auswahl und vielen Beispielen ist das Buch auch zum Selbststudium und als Nachschlagewerk intestine geeignet.

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Fn die Menge aller nicht-surjektiven Abbildungen von M in N . 6 folgt s(m, n) = |F | − |F1 ∪ . .

3 F¨ ur m ≥ 1 beweise man m j j=0 m j = m2m−1 , a) durch Rechnung, b) durch Abz¨ ahlen von {(a, K) | a ∈ K ⊆ M } mit |M | = m. 2 Vektorr¨ aume Der Vektorraum ist einer der zentralen Begriffe der Linearen Algebra. Da wir viele Anwendungen, insbesondere aus der Diskreten Mathematik, im Auge haben, betrachten wir nicht nur reelle Vektorr¨aume, sondern solche u orpern. Dies erfordert, daß wir n¨aher auf algebraische ¨ber beliebigen K¨ Grundstrukturen eingehen. Wir beginnen mit dem Gruppenbegriff. In erster Linie f¨ uhren wir dabei eine Sprache ein, die sp¨ater pr¨agnante Formulierungen erlaubt.

Die Catalanzahlen treten in mehr als 70 bekannten Abz¨ahlproblemen auf. Siehe dazu [18]. 5 (K¨ urzungsregel) Sei G eine Gruppe und seien a, b, c ∈ G. Gilt ab = ac oder ba = ca, so ist b = c. Beweis. Wir haben b = eb = (a−1 a)b = a−1 (ab) = a−1 (ac) = (a−1 a)c = ec = c. ¨ Ahnlich folgt die zweite Behauptung. 6 Sei G eine endliche Halbgruppe, in welcher beide K¨ urzungsregeln gelten. Dann ist G eine Gruppe. Beweis. Die K¨ urzungsregeln besagen, daß f¨ ur a, b ∈ G die Abbildungen fa , gb ∈ Ab(G, G) mit fa x = ax und gb x = xb (x ∈ G) injektiv sind.

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