By Karin Baur

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Alle Eigenwerte des Endomorphismus sind reell. Beweis: 1) Sei V unit¨ ar. f sei selbstadjungiert und λ ∈ specf . Dann existiert ein Eigenvektor v = 0 ∈ V zu λ und es gilt λ v 2 = = λ v, v = λv, v = f (v), v v, f (v) = v, λv = λ v 2 . ur alle Eigenwerte. Da v = 0 ist, folgt also λ = λ und λ ist reell. Dies gilt f¨ 2) Euklidscher Fall. Ist f selbstadjungierter Endomorphismus eines Euklidschen Vektorraums, so betrachten wir die darstellende Matrix bzgl. einer beliebigen ONB. 48 symmetrisch. Als komple¨ xe Matrix aufgefasst ist sie also Hermitesch.

38. Teil (iv) im obigen Lemma sagt einfach, dass eine quadratische Matrix genau dann orthogonal ist, wenn ihre Spalten eine ONB von Rn bilden. Analog im unit¨ aren Fall. Unter den orthogonalen und unit¨aren Matrizen spielen insbesondere diejenigen mit Determinante 1 eine besondere Rolle. 39. SO(n) {A ∈ O(n) | det A = 1}. = {B ∈ U (n) | det B = 1}. SU (n) = Die Matrizen in SO(n) heissen die speziellen orthogonale Matrizen, diejenigen in SU (n) die speziellen unit¨ are Matrizen. 40. SO(n) ist eine Untergruppe von O(n) und SU (n) eine Untergruppe von U (n).

Vk+1 . Es bleibt, die Orthogonalit¨ at zu zeigen, also dass wi , wk+1 = 0 gilt f¨ ur i = 1, . . , k. Wir haben k wi , wk+1 = wi , vk+1 − j=1 k = wi , vk+1 − j=1 wi , vk+1 , wj · wj wj , wj wj , vk+1 wi , wj wj , wj = wi , vk+1 − wi , vk+1 = 0. Damit haben wir induktiv eine orthogonale Familie {wi , . . , wn } von V konstruiert (die den Nullvektor nicht enth¨alt). Dann muss man nur noch normieren: ui := wi , i = 1, . . , n , wi bildet eine orthonormierte Familie {u1 , . . , un } von Vektoren.

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