By Kurt-Ulrich Witt

Internet, Soziale Netzwerke, Spiele, Smartphones, DVDs, digitaler Rundfunk und digitales Fernsehen funktionieren nur deshalb, weil zu ihrer Entwicklung und Anwendung mathematisch abgesicherte Verfahren zur Verfügung stehen. Dieses Buch vermittelt Einsichten in grundlegende Konzepte und Methoden der Linearen Algebra, auf denen diese Verfahren beruhen. Am Beispiel fehlertoleranter Codierung wird einführend gezeigt, wie diese Konzepte und Methoden in der Praxis eingesetzt werden, und am Beispiel von Quantenalgorithmen, die möglicherweise in Zukunft eine Rolle spielen, wird deutlich, dass die Lineare Algebra zeitinvariante Konzepte, Methoden und Verfahren bereitstellt, mit denen IT-Technologien konzipiert, implementiert, angewendet und weiterentwickelt werden können. Wegen seiner didaktischen Elemente wie Vorgabe von Lernzielen, Zusammenfassungen, Marginalien und einer Vielzahl von Übungen mit Musterlösungen eignet sich das Buch nicht nur als Begleitlektüre zu entsprechenden Informatik- und Mathematik-Lehrveranstaltungen, sondern insbesondere auch zum Selbststudium.

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Read Online or Download Lineare Algebra für die Informatik: Vektorräume, Gleichungssysteme, Codierung, Quantenalgorithmen PDF

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Structure and Representation of Jordan Algebras

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Example text

Mit den genannten Matrizenumformungen l¨asst sich jede m × n-Matrix A in eine Matrix Erm,n umwandeln, die ( links oben“) ” die r × r-Einheitsmatrix Er enth¨alt, und alle anderen Matrixelemente sind gleich 0. Erm,n ist die Stufenform zu A. r ist gleich dem Rang von A. Die genannten Matrizenumformungen k¨onnen durch Links- und Rechtsmultiplikation mit geeigneten Elementarmatrizen realisiert werden. Elementarmatrizen ergeben sich durch geeignete Verkn¨ upfung von Einheitsmatrix und Matrizeneinheiten.

Amn Koeffizientenmatrix heißt Koeffizientenmatrix von gmn (x), und die Matrix ⎞ ⎛ a11 a12 . . a1n b1 ⎜ a21 a22 . . a2n b2 ⎟ ⎟ ⎜ (A, b) = ⎜ .. .. .. ⎟ ⎝ . . . ⎠ am1 am2 . . amn bm Erweiterte Koeffizientenmatrix heißt erweiterte Koeffizientenmatrix von gmn (x). ✷ Wenn wir b = (b1 , . . , bm ) ∈ K und x = (x1 , . . , xn ) als (1 × m)- bzw. als (1 × n)-Matrizen auffassen, l¨asst sich ein (m × n)-Gleichungssystem gmn (x) auch als Matrizenprodukt darstellen: m A · xT = bT Da es sich bei x und b um Vektoren und nicht um echte Matrizen“ handelt, ” schreibt man in der Regel nur: A·x=b Das heißt: gmn (x) ist durch die Koeffizientenmatrix A und den Ergebnisvektor b eindeutig bestimmt, weshalb wir anstelle von gmn (x) oder A · x = b auch (A, b)mn schreiben k¨onnen, und falls auf die Angabe von m und n verzichtet werden kann, schreiben wir (A, b) anstelle von (A, b)mn .

L1 ein Produkt (man sagt auch eine Folge) von Elementaroperationen, dann ist L−1 = (Lk · . . · L1 )−1 = L1−1 · . . 1 F¨ uhren Sie auf die Matrix ⎛ ⎞ 1 2 3 A = ⎝4 5 6⎠ ∈ MR3 7 8 9 Folgen von Elementaroperationen nach eigener Wahl aus! 3 Zeilenrang Spaltenrang Zeilenreduktion ✷ Rang einer Matrix Betrachtet man die Zeilen oder Spalten einer Matrix A ∈ MK mn jeweils als Mengen von Vektoren, so k¨onnen diese linear unabh¨angig oder linear abh¨angig sein. Wir nennen die maximale Anzahl der linear unabh¨angigen Zeilen von A den Zeilenrang und entsprechend die Anzahl der unabh¨angigen Spalten den Spaltenrang von A.

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