By Stefan Waldmann

Im vorliegenden Lehrbuch werden die Grundlagen der Linearen Algebra im element vorgestellt: Nachdem die grundlegenden Strukturen der Mathematik - die Gruppen, Ringe und Körper - eingeführt sind, werden Vektorräume und lineare Abbildungen zwischen ihnen ausführlich vorgestellt. Wichtige Normalformen werden ebenso diskutiert wie die Determinante und das challenge der Diagonalisierung. Abschließend werden die Theorien der euklidischen und unitären Vektorräume parallel entwickelt. Die formalen Aspekte der wissenschaftlichen Mathematik werden stark betont. Andererseits wird gerade aus den Anwendungen in der mathematischen Physik wichtige Motivation für das Vorgehen gewonnen. Auf diese Weise ist das Lehrbuch für Studierende der Mathematik und der Physik geeignet. Mehr als two hundred umfangreiche Übungen erleichtern das Selbststudium.

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Haben wir gesehen, dass der Kern eines Monoidmorphismus immer ein Untermonoid ist. Im Falle von Gruppen liefert dies sogar eine Untergruppe. 24 (Kern und Bild von Gruppenmorphismus). Sei W G1 ! G2 ein Gruppenmorphismus. 30) Â G2 ist eine Untergruppe. Beweis. h/ D e2 . h/ 1 D e2 1 D e2 , also h 1 2 ker , womit ker eine Untergruppe ist. Sei nun g 2 G1 beliebig und h 2 ker . 30). e1 / 2 im , womit das Bild das Einselement enthält. g 1 / 2 im . Damit ist im eine Untergruppe. 25 (Normale Untergruppe).

29. Sei R ein Ring. 33) Beweis. R; C/. ). Die andere Gleichung zeigt man analog. 30. Ist R ein Ring mit 1 D 0, so ist R der Nullring. Beweis. Klar, denn für a 2 R gilt a D 1 a D 0 a D 0. 31. R; / eine Gruppe ist, so ist R der Nullring. Beweis. Angenommen, 0 besitzt ein multiplikatives Inverses 0 1 D 0 1 0 D 0. 30. 1 2 R, dann gilt t u Damit sieht man, dass die seltsame Eigenschaft 1 D 0 tatsächlich nur im Nullring auftritt und in allen andere Ringen mit Eins das Nullelement 0 kein multiplikatives Inverses haben kann.

Es wird sich herausstellen, dass der Begriff der Dimension auf eine intrinsischere Weise definiert werden muss. ) Es stellt sich weiter die Frage, welche Eigenschaften von R3 eigentlich benötigt wurden, um die Ergebnisse zu Geraden und Ebenen zu formulieren und zu beweisen. Es zeigt sich, dass die wesentlichen Eigenschaften diejenigen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2017 S. 1 sind. Wir werden diese Rechenregeln für Vektoren im R3 daher benutzen, um den allgemeinen Begriff des Vektorraums zu definieren.

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