By D. Voigt

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Structure and Representation of Jordan Algebras

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Example text

Ami) A' = ( a~2 a f2 . . a 2 . T amn a1n a2n A' heißt die transponierte Matrix von A. Beispiel: (3 2 1) A= 5 0 7 ; Offensichtlich gilt nach Definition: (AT =A. An Stelle von A' schreibt man auch AT. Für Diagonalmatrizen, im besonderen für die Einheitsmatrizen, gilt: 1'=1. Definition 6: Eine Matrix S = (sij) heißt symmetrisch, wenn sie der Bedingung S=S' genügt; die Transposition führt die Matrix in sich über. Für die Elemente gilt dann sij = für alle i und j. Sji Eine symmetrische Matrix ist deshalb stets quadratisch.

Denn es folgt V'=(X + X')' = X' + (X')' = X' +X =X +X'= V . Dagegen ist die Differenz W=X-X' schiefsymmetrisch, denn es ist w' = (X - X')' = X' - (X')' = X' - X = - (X - X') = - W . 2 5 o B= ( 0 -2 2 0 -3 -6 A ist symmetrisch und B schiefsymmetrisch. Man bilde A A = A 2 und BB=B2. Man stellt insbesondere fest, daß die Potenzen An der symmetrischen Matrix A wiederum symmetrisch sind, und wegen der Beziehung (2) sind auch Polynome von Asymmetrisch. 5 Permutationsmatrizen und verwandte besondere Matrizen Gegeben seien eine Diagonalmatrix .

U(n -1) - u(n - 2)). · (u(n) - u(1)). ·· (u(n) - u(n - 2)). (u(n) - u(n -1)) oder n n (uU)-u(i)) . n j-1 j=2 ;= 1 Die Zahlen u(1), ... , u(n) unterscheiden sich nur in der Reihenfolge von den Zahlen 1, 2, ... , n ; also ist n n (uU)-u(i)) = ± n n (4) j-i j=2 ;= i n j-i nU-i). j= 2 ; = 1 Man betrachte ein beliebiges Zahlenpaar (k, Q aus den Zahlen 1,2, .. ,n mit kct(k), so ist auch der entsprechende Faktor auf der rechten Seite von (4) positiv, ist aber a(Q

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