By Martin Aigner

Es kommt nicht oft vor, dass ein einzelnes challenge ein ganzes mathematisches Gebiet hervorruft. Das allseits bekannte 4-Farben challenge conflict solch ein singuläres Ereignis: Aus den Lösungsversuchen entwickelte sich die Graphentheorie, die heute zu den unverzichtbaren Grundlagen der Diskreten Mathematik und Informatik und weiterer angewandter Wissenschaften gehört. Das Buch versucht zweierlei: Es will erstens alle wichtigen Begriffe, Ideen und Sätze für eine Einführung in die Graphentheorie im Bachelorstudium bereitstellen, und zweitens ein tieferes Verständnis für dieses wunderbare Gebiet vermitteln, durch einen Rückblick, wie alles mit dem 4-Farben challenge begann, und einen Ausblick auf die erstaunliche Lösung und den damit aufgeworfenen Fragen.

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Warum wurde im Beweis der Fall e(S) = 2, also die Kugeloberfläche, ausgeschlossen? Hier haben wir d ≤ 6(1 − r2 ) < 6, aber h(2) = 4. 1. 4. Es gilt: (i) χ(Sh ) ≤ (ii) χ(Nk ) ≤ √ 7+ 1+48h 2 √ 7+ 1+24k 2 (h ≥ 1), (k ≥ 1). Man beachte, dass für h = 0 genau χ(S0 ) ≤ 4 resultieren würde – aber der Beweis funktioniert eben leider genau für diesen Fall nicht. Percy John Heawood wurde 1861 in Newport, England geboren und studierte mit ausgezeichnetem Erfolg am Exeter College in Oxford. ) blieb. Er verfasste mehrere Arbeiten zur Zahlentheorie und Geometrie, aber das Zentrum seines Schaffens blieb sein ganzes Leben das 4-Farben Problem, zu dem er wegweisende Arbeiten im Zeitrahmen von 60 Jahren veröffentlichte.

9. 4 ein. 10. * Berechne die chromatischen Polynome a. der Kreise Cn , b. der Räder Wn , c. des Petersen Graphen. 11. 4). Wie sieht a1 aus, wenn G Mehrfachkanten enthält? Überlege eine Beschreibung von a2 . 12. Zeige durch einen Kempe-Schluss, dass eine irreduzible Landkarte keinen Ring mit vier oder weniger Ländern enthalten kann. 13. * Zeige, dass K2n stets 1-faktorisierbar ist. 14. Gib eine rekursive Charakterisierung jener Bäume, die einen 1-Faktor besitzen. 15. * Zeige, dass der Petersen Graph keinen Hamiltonschen Kreis besitzt.

Aber auch die Umkehrung ist richtig, wie sich der Leser leicht überlegen kann: Hat jede Ecke in G geraden Grad, so existiert ein Eulerzug. Für zusammenhängende Graphen sind somit die Bedingungen Eulerscher Graph und Existenz eines Eulerzuges äquivalent. Der Name Eulerzug stammt von der vielleicht ältesten graphentheoretischen Arbeit her, der Lösung des Königsberger Brückenproblems durch Euler im Jahre 1736. 3 zeigt 4 Landstücke A, B, C, D und 7 Verbindungsbrücken a, b, . . , g. Frage: Ist es möglich, von der Insel A aus einen Spaziergang zu machen, bei dem man alle Brücken genau einmal passiert und schließlich nach A zurückkehrt?

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