By Niles Johnson

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Structure and Representation of Jordan Algebras

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Example text

Mit den genannten Matrizenumformungen l¨asst sich jede m × n-Matrix A in eine Matrix Erm,n umwandeln, die ( links oben“) ” die r × r-Einheitsmatrix Er enth¨alt, und alle anderen Matrixelemente sind gleich 0. Erm,n ist die Stufenform zu A. r ist gleich dem Rang von A. Die genannten Matrizenumformungen k¨onnen durch Links- und Rechtsmultiplikation mit geeigneten Elementarmatrizen realisiert werden. Elementarmatrizen ergeben sich durch geeignete Verkn¨ upfung von Einheitsmatrix und Matrizeneinheiten.

Amn Koeffizientenmatrix heißt Koeffizientenmatrix von gmn (x), und die Matrix ⎞ ⎛ a11 a12 . . a1n b1 ⎜ a21 a22 . . a2n b2 ⎟ ⎟ ⎜ (A, b) = ⎜ .. .. .. ⎟ ⎝ . . . ⎠ am1 am2 . . amn bm Erweiterte Koeffizientenmatrix heißt erweiterte Koeffizientenmatrix von gmn (x). ✷ Wenn wir b = (b1 , . . , bm ) ∈ K und x = (x1 , . . , xn ) als (1 × m)- bzw. als (1 × n)-Matrizen auffassen, l¨asst sich ein (m × n)-Gleichungssystem gmn (x) auch als Matrizenprodukt darstellen: m A · xT = bT Da es sich bei x und b um Vektoren und nicht um echte Matrizen“ handelt, ” schreibt man in der Regel nur: A·x=b Das heißt: gmn (x) ist durch die Koeffizientenmatrix A und den Ergebnisvektor b eindeutig bestimmt, weshalb wir anstelle von gmn (x) oder A · x = b auch (A, b)mn schreiben k¨onnen, und falls auf die Angabe von m und n verzichtet werden kann, schreiben wir (A, b) anstelle von (A, b)mn .

L1 ein Produkt (man sagt auch eine Folge) von Elementaroperationen, dann ist L−1 = (Lk · . . · L1 )−1 = L1−1 · . . 1 F¨ uhren Sie auf die Matrix ⎛ ⎞ 1 2 3 A = ⎝4 5 6⎠ ∈ MR3 7 8 9 Folgen von Elementaroperationen nach eigener Wahl aus! 3 Zeilenrang Spaltenrang Zeilenreduktion ✷ Rang einer Matrix Betrachtet man die Zeilen oder Spalten einer Matrix A ∈ MK mn jeweils als Mengen von Vektoren, so k¨onnen diese linear unabh¨angig oder linear abh¨angig sein. Wir nennen die maximale Anzahl der linear unabh¨angigen Zeilen von A den Zeilenrang und entsprechend die Anzahl der unabh¨angigen Spalten den Spaltenrang von A.

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