By F. Nevanlinna

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Example text

O(p). Der Fall p = 2 ist trivial, es sei somit p eine ungerade Prim- 58 Gruppentheorie Gernäss Satz 33 ist diese Kongruenz lösbar, wenn die sogenannte Bedingung von EDLER a1 2 1(p) + 1) (a1 2 == ± 1(p) für jedes a ;;E O(p). Wir definieren nun das sogenannte Legendresche Symbol (ajp) für jedes zu p primeaalsdie Zahl+ 1 oder -1, je nachdem a modulo p quadratischer Rest oder Nichtrest ist.

34. Setzt man in einer Gruppe zwei Elemente a """ b falls sie konjugiert sind, so ist hiermit in der Gruppe eine Äquivalenz erklärt. Man beweise dies und zeige, dass die Anzahl der mit a äquivalenten Elemente gleich dem Index des Normalisators U(a) als Untergruppe der Grundgruppe ist, folglich die Ordnung dieser Grundgruppe teilt, falls sie endlich ist. Anleitung. Zerlegt man die vorgegebene Gruppe in rechts- oder linksseitige Nebenklassen modulo des Normalisators U(a), so entspricht jeder Nebenklasse umkehrbar eindeutig ein mit a in der erklärten Äquivalenz a """ b äquivalentes Element b.

Gruppen; a, b, c, ... deren Elemente. Wir betrachten die Gesamtheit G aller geordneten Elementenfolgen g = { a, b, c, ... } und definieren: Ist gI = { a,I bf , c,I ... } ein zweites Element von G, so sei g1 C, ... die Gleichungen = g genau dann, wenn bzw. in A, B, bestehen. Ferner sei g g1 = { a a 1 , b b1 , c c1 , ••• } • Man beweise, dass G mit diesen Definitionen eine Gruppe ist mit dem Einselement e = { ea' eb' ec' 0 0 0 } ' § 4 Die Gruppe P(n) 51 wo Ca, Cb, Ce, ... die Einselemente der vorgegebenen Gruppen A, B, C, ...

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