By Wolfgang Fischer

Dieses Buch eignet sich als Grundlage für einen Fortsetzungskurs in research im 2. Studienjahr. In der Komplexen research (Funktionentheorie) wird die Differential- und Integralrechnung im Bereich der komplexen Zahlen entwickelt, dies ist ein klassisches Teilgebiet der Mathematik mit vielfältigen Anwendungen, zum Beispiel in der Physik.

Mit einer guten thematischen Auswahl, vielen Beispielen und ausführlichen Erläuterungen gibt dieses Buch eine Darstellung der Komplexen research (Funktionentheorie) , die genau die Grundlagen und den wesentlichen Kernbestand dieses Gebietes enthält: Diese Lehreinheiten können im Bachelor-Studium in einer einsemestrigen 2-stündigen Vorlesung behandelt werden.

Das Buch bietet über diese Grundausbildung hinaus weiteres Lehrmaterial als Ergänzung, sodass es auch für eine three- oder 4-stündige Vorlesung geeignet ist. Je nach Hörerkreis kann der Stoff unterschiedlich erweitert werden. So wurden für den „Bachelor Lehramt“ die geometrischen Aspekte der Komplexen research besonders herausgearbeitet.

Die zahlreichen Aufgaben sind zum Teil mit Lösungen versehen und erleichtern das Lernen. Die ersten drei Abschnitte des Buches geben einen elementaren Einstieg in die research in der komplexen Ebene, sodass das Buch auch zum Selbststudium intestine geeignet ist.

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5. 2. Der Differentialoperator ∂ 1 = ∂z 2 ∂ ∂ +i ∂x ∂y heißt Operator der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. In der Forderung nach komplexer Differenzierbarkeit ist also die gleichzeitige Forderung nach dem Bestehen einer zusätzlichen partiellen Differentialgleichung enthalten: holomorphe Funktionen sind die differenzierbaren Lösungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ∂f (z) ≡ 0. ∂z (9) Das macht plausibel, dass holomorphe Funktionen besondere Eigenschaften haben, die reell differenzierbaren Funktionen im Allgemeinen nicht zukommen – weder in einer noch in zwei Variablen.

2ν + 1)! ν=0 ν=0 ∞ cosh z = z 2ν (2ν)! ν=0 ∞ sinh z = z 2ν+1 (2ν + 1)! ν=0 7. Elementare Funktionen vi. 35 eiz = cos z + i sin z sin2 z + cos2 z ≡ 1 vii. cosh2 z − sinh2 z ≡ 1. Aus v geht hervor, dass für reelles z die obigen Funktionen mit den aus der reellen Analysis bekannten trigonometrischen bzw. hyperbolischen Funktionen übereinstimmen. Die Beziehung vi liefert auch die Zerlegung von ez in Real- und Imaginärteil (ebenfalls als Eulersche Formel bekannt): ex+iy = ex (cos y + i sin y). 6. Die Nullstellen des Sinus sind die reellen Zahlen kπ, k ∈ Z, die des Cosinus π 2 + kπ, k ∈ Z.

Natürlich können wir die Aussagen sofort auf Potenzreihen P (z − z0 ) mit beliebigem Entwicklungspunkt übertragen: der Konvergenzkreis hat dann den Mittelpunkt z0 . 6 ist eine unmittelbare Konsequenz. Es sei also |aν ||z1 |ν ≤ M für alle ν. Wir wählen z2 mit 0 < |z2 | < |z1 | und erhalten für |z| ≤ |z2 |: |aν ||z|ν ≤ |aν ||z2 |ν = |aν ||z1 |ν z2 z1 ν ≤ M qν mit q = |z2 |/|z1 | < 1. 1 die absolut gleichmäßige Konvergenz im Kreis D|z2 | (0). Mit geringer zusätzlicher Mühe könnten wir auch die Cauchy-Hadamardsche Formel r= 1 lim sup ν |aν | für den Konvergenzradius zeigen: wir stellen sie als Aufgabe 3.

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