By Manfred Denker

Dynamische Systeme stellen einen unverzichtbaren Bestandteil mathematischer
Modellbildung für Anwendungen aller paintings dar, angefangen von Physik über Biologie
bis hin zur Informatik. Dieser Band führt in diese Theorie ein und beschreibt Methoden und Dynamiken, wie sie für eine systematische Modellbildung auch in den Anwendungen notwendig erscheinen.

Wesentliche Grundzüge der Theorie werden beispielhaft im ersten Kapitel erläutert. Es schließt sich eine Einführung in niedrig-dimensionale Dynamiken an (u.a. intent Funktionen), gefolgt von topologischer Dynamik (z.B. Attraktoren, Entropie und chaotisches Verhalten), differenzierbarer Dynamik (z.B. Liapunoff-Exponenten, Strukturstabilität und Hyperbolizität), Ergodentheorie (z.B. Ergodensätze, invariante Masse, Konservativität) und schließlich thermodynamischer Formalismus (z.B. Gibbs-Theorie, Zetafunktionen).

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Daf¨ ur entsteht ein neuer Fixpunkt p > 0. Dies ist der Inhalt der zweiten Proposition. Proposition 3. F¨ ur 1 < c ≤ 3 besitzt Tc einen einzigen periodischen Punkt p im offenen Intervall (0, 1), n¨ amlich p = 1 − c−1 . p ist ein Fixpunkt, und die Bahn eines beliebigen Startwertes in (0, 1) konvergiert gegen diesen Fixpunkt. Beweis. Man rechnet sofort nach, dass Tc (1−c−1 ) = 1−c−1 einziger Fixpunkt in (0, 1) ist, und im Intervall 1 < c < 3 der Betrag der Ableitung in diesem Punkt den Wert |c − 2c(1 − c−1 )| = | − c + 2| < 1 annimmt.

F¨ ur differenzierbare ¨ Abbildungen T kann das Problem durch Ubergang zu einer geeigneten Iterierten auf Fixpunkte reduziert werden. Das Verhalten in der N¨ahe dieser Punkte wird durch topologische Eigenschaften wie Abstoßung, Rotation oder Attraktion beschrieben; Eigenschaften, die unter Hom¨oomorphie invariant bleiben. Es gen¨ ugt also offenbar, dieses Problem unter lokaler Konjugiertheit zu betrachten, die wie folgt definiert ist. Definition 8. Seien (Ω, T ) ein stetiges dynamisches System und ω ∈ Ω ein Fixpunkt.

Statt. Es sei noch angemerkt, dass die Abbildungen Tµn die topologische Entropie Null besitzen, also als deterministisch interpretierbar sind. Der bisher besprochene Typ einer Bifurkation ist eine Periodenverdoppelung. Aus der Reihe weiterer Typen von Bifurkationen sei noch kurz die HopfBifurkation erw¨ ahnt, bei der ein Paar komplexer Eigenwerte der Ableitung den Einheitskreis u ¨berschreiten. Beispiel 23. 5 Bifurkation 35 Abb. 16. Hopf-Bifurkation: Bifurkationspunkt rechts besitzt globale L¨osungen f¨ ur jedes µ ∈ R, und 0 ist ein kritischer Punkt des Vektorfeldes Φµ mit Ableitung D0 Φµ = µ −1 1 µ .

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