By Daniel Perrin

Cette assortment regroupe des ouvrages variés dont le yet est de compléter l. a. formation scientifique des candidats aux concours d’Agrégation et de CAPES de Mathématiques, et éventuellement de leur donner une préparation spécifique à une épreuve ou un sort d’épreuve.

Ce quantity est directement issu du Cours d’Algèbre paru sous forme photocopiée aux presses de l’École Normale Supérieure de Jeunes Filles et connu des candidats à l’agrégation de mathématiques comme « le Perrin ». Il a permis à de très nombreux agrégatifs de compléter leur formation en algèbre, et d’arriver au concours avec des idées claires. Il s’adresse donc avant tout aux candidats à l’agrégation, mais peut être abordé avec revenue dès le début du deuxième cycle de l’enseignement supérieur. Il devrait faire partie de l. a. bibliothèque de base de tout enseignant de mathématiques.

Professeur à l’lUFM de Versailles et à l’Université de Paris-Sud (Orsay), Daniel Perrin s’est occupé pendant quinze ans de l. a. préparation des normaliennes et normaliens a l’agrégation de mathématiques, d’abord à l’École Normale Supérieure de jeunes Filles, puis à l’École Normale Supérieure.

===== desk des matières

Introduction
Table des matières
Notations

I. Généralités sur les groupes, groupes finis, groupe symétrique

    0. Rappels
    1. Générateurs d’un groupe
    2. Sous-groupes distingués
    3. Centre et commutateurs
    4. Opération d’un groupe sur un ensemble
    5. Les théorèmes de Sylow
    6. Produits directs et semi-directs
    7. Automorphismes de ℤ/nℤ
    8. constructions des groupes symétrique S_n et alterné A_n

    Exercices sur le chapitre I

II. Anneaux, propriétés arithmétiques

    0. Rappels
    1. Quelques remarques sur les idéaux
    2. Anneaux noethériens
    3. Propriétés arithmétiques
        a) Éléments inversibles
        b) Divisibilité
        c) Anneaux factoriels
        d) ppcm et pgcd
        e) Le théorème de Bézout
        f) Anneaux euclidiens
    4. Stabilité des notions étudiées ; théorème de Gauss
        a) Passage à l’anneau des polynômes
        b) Passage au quotient
        c) Sous-anneaux
    5. Un exemple d’anneau critical non euclidien
        a) remark reconnaître qu’un anneau n’est pas euclidien
        b) program, l’anneau A = ℤ[(1 + i√19) / 2] = ℤ[α] n’est pas euclidien
        c) L’anneau A = ℤ[α] est principal
    6. L’anneau ℤ[i] et le théorème des deux carrés
        a) Introduction
        b) Étude de l’anneau ℤ[i]

    Exercices sur le chapitre II

III. Corps, théorie élémentaire

    1. Les ideas vectorielles
        a) Degré d’une extension, éléments algébriques
        b) Application : structures à los angeles règle et au compas
        c) Corps de rupture, corps de décomposition
    2. Les corps finis
        a) Caractéristique et cardinal
        b) lifestyles et unicité des corps finis
        c) Étude du groupe multiplicatif F_q^*
        d) Les carrés de F_q
    3. Irréductibilité des polynômes de k[X]
    4. Cyclotomie
        a) Racines de l’unité, racines primitives
        b) Étude de Φ_n,k
        c) Application : le théorème de Wedderburn
        d) L’irréductibilité de Φ_n sur ℤ
        e) Comportement de Φ_n sur F_p

    Exercices sur le chapitre III

IV. Le groupe linéaire

    1. Déterminant et groupe SL(E)
    2. Générateurs et centres de GL(E) et SL(E)
        a) Les dilatations
        b) Les transvections
        c) program, calcul des centres
        d) Générateurs de SL(E) et GL(E)
        e) Conjugaison
    3. Commutateurs
    4. l. a. simplicité de PSL(n, k)
    5. Le cas des corps finis

    Exercices sur le chapitre IV

V. Formes sesquilinéaires, généralités

    1. Définitions
    2. Formes réflexives
    3. Sous-espaces orthogonaux et isotropes
    4. Groupes unitaire, orthogonal, symplectique
    5. Les similitudes
    6. Bases orthogonales ; category des formes sesquilinéaires
    7. Caractérisation des similitudes

    Exercices sur le chapitre V

VI. Le groupe orthogonal euclidien

    1. Notations et rappels
    2. Générateurs et centres de O(q) et O⁺(q)
    3. Conjugaison et commutateurs
    4. l. a. measurement 2 et les angles
    5. constitution des éléments de O(q)
    6. l. a. simplicité du groupe O⁺(3, ℝ)
    7. l. a. simplicité de PO⁺(n, ℝ) pour n ⩾ 5
    8. Les automorphismes de O⁺(3, ℝ)

    Exercices sur le chapitre VI

VII. Quaternions

    1. Définition du corps ℍ
        a) Définition
        b) Conjugué, norme, inverse
    2. Opération de ℍ sur ℝ³
        a) Quaternions et groupe orthogonal
        b) Application : calcul des automorphismes de ℍ
    3. los angeles constitution de O⁺(4, ℝ)
    4. Quelques compléments sur ℍ
        a) Relation avec SU(2, ℂ)
        b) Le théorème de Frobenius
        c) Les octaves de Cayley
        d) Les algèbres de Clifford
        e) Un peu de topologie
    5. Les quaternions généralisés

    Exercices sur le chapitre VII

VIII. Le groupe orthogonal, cas général

    1. Introduction
    2. Plans hyperboliques
    3. Espaces hyperboliques
    4. Le théorème de Witt
        a) Le théorème de Witt, énoncé et démonstration
        b) Le théorème de Witt : les corollaires classiques
    5. Générateurs et centres de O(q) et O⁺(q)
        a) Les centres de O(q) et O⁺(q)
        b) Générateurs des groupes O(q) et O⁺(q)
    6. los angeles measurement 2
        a) Les éléments de O(q)
        b) Détermination du groupe O⁺(q) : le cas hyperbolique
        c) Détermination du groupe O⁺(q) : le cas anisotrope
    7. Le théorème de Cartan-Dieudonné
    8. Le groupe des commutateurs
    9. Compléments

    Exercices sur le chapitre VIII

Bibliographie
Index terminologique

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Ami) A' = ( a~2 a f2 . . a 2 . T amn a1n a2n A' heißt die transponierte Matrix von A. Beispiel: (3 2 1) A= 5 0 7 ; Offensichtlich gilt nach Definition: (AT =A. An Stelle von A' schreibt man auch AT. Für Diagonalmatrizen, im besonderen für die Einheitsmatrizen, gilt: 1'=1. Definition 6: Eine Matrix S = (sij) heißt symmetrisch, wenn sie der Bedingung S=S' genügt; die Transposition führt die Matrix in sich über. Für die Elemente gilt dann sij = für alle i und j. Sji Eine symmetrische Matrix ist deshalb stets quadratisch.

Denn es folgt V'=(X + X')' = X' + (X')' = X' +X =X +X'= V . Dagegen ist die Differenz W=X-X' schiefsymmetrisch, denn es ist w' = (X - X')' = X' - (X')' = X' - X = - (X - X') = - W . 2 5 o B= ( 0 -2 2 0 -3 -6 A ist symmetrisch und B schiefsymmetrisch. Man bilde A A = A 2 und BB=B2. Man stellt insbesondere fest, daß die Potenzen An der symmetrischen Matrix A wiederum symmetrisch sind, und wegen der Beziehung (2) sind auch Polynome von Asymmetrisch. 5 Permutationsmatrizen und verwandte besondere Matrizen Gegeben seien eine Diagonalmatrix .

U(n -1) - u(n - 2)). · (u(n) - u(1)). ·· (u(n) - u(n - 2)). (u(n) - u(n -1)) oder n n (uU)-u(i)) . n j-1 j=2 ;= 1 Die Zahlen u(1), ... , u(n) unterscheiden sich nur in der Reihenfolge von den Zahlen 1, 2, ... , n ; also ist n n (uU)-u(i)) = ± n n (4) j-i j=2 ;= i n j-i nU-i). j= 2 ; = 1 Man betrachte ein beliebiges Zahlenpaar (k, Q aus den Zahlen 1,2, .. ,n mit kct(k), so ist auch der entsprechende Faktor auf der rechten Seite von (4) positiv, ist aber a(Q

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