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Par exemple avec des notations évidentes, si l’on a ω = dxi ⊗ (bαi ), |α| = ℓ, β+ε i on aura d∗ ω = dxi ∧ dxj ⊗ (cβi ), |β| = ℓ − 1, avec cβij = bβ+ε − bi j . j Plus généralement, si M est un C [ξ]-module homogène de type fini, on définira M ∗ par (M ∗ )ℓ = Mℓ∗ , dual de Mℓ sur C , et on aura un complexe de ∗ défini de la même manière. 2. — Je vais rappeler ici le langage des espaces de jets ; comme ce sujet est bien connu, ce rappel sera aussi minimaliste que possible. Soit π : Y → X une submersion de variétés analytiques complexes (lisses), et ℓ un entier ≥ 0.

4]. Donc Z0 → X est une submersion. Au voisinage d’un point a ∈ Z0 , on peut donc supposer Z0 défini par yq+1 = · · · = yp = 0. Pour j ≥ q + 1, 1 ≤ i ≤ n, on a yji ∈ I (utiliser la surjectivité de |Z2 | → |Z1 | et la lissité de Z1 ) ; alors, en faisant yj = yji = 0, j ≥ q + 1, on est ramené à un système en y1 , . . , yq , vérifiant i), ii), et iii). Prenons donc un système (Y1 , I) vérifiant les trois conditions précédentes, et plaçons-nous au voisinage d’un point a ∈ Y0 , qu’on peut supposer être le point (0, 0).

De plus, si les ui convergent, y converge. 3) Q(∂)y = A(x, y) + Bi (x, y)∂i y + C(x, y, ∂i y) , avec A(0, 0) = 0, Bi (0, 0) = 0, C ne contenant que des termes de degré ≥ 2 par rapport aux ∂i y dans son développement en série au voisinage de 0. 4) F (x, y, ∂i y) = 0, avec ∂F (0) = 0 (j’écris « i » pour « εi ») . 3). 5. — Le jet a = 0 est fortement prolongeable relativement à I ′ , et ses prolongements relativement à I et I ′ coïncident. Le lemme se voit par récurrence ; supposons-le démontré à l’ordre k, et soit b un prolongement d’ordre k de a ; les prolongements c à l’ordre (k + 1) de b relativement à I forment un espace linéaire affine non vide, contenu dans l’espace des prolongements relativement à I ′ ; ces deux espaces ont même dimension puisque les équations déduites de ii) ne font pas intervenir les coefficients de c autres que ceux de b.

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