By Karl Graf Finck von Finckenstein, Jürgen Lehn, Helmut Schellhaas

Dieser zweite Band des Arbeitsbuches Mathematik für Ingenieure folgt in seinem Aufbau der bewährten Konzeption des Arbeitsbuches zur research: Nach einer Darstellung der Fakten werden diese durch ausführliche Bemerkungen ergänzend aufbereitet und erläutert. Anhand der zahlreichen Beispiele wird das gewonnene Grundverständnis vertieft und über die angeschlossenen exams und Übungsaufgaben überprüft und angewendet. Das Angebot an aktiver Beschäftigung des Lesers mit den Themen schafft somit die Grundlage für ein erfolgreiches Lernen und Arbeiten in den Gebieten Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Numerik und Statistik.

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Die lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung Die Differentialgleichung y = p(x) · y + q(x) · y (5) ist eine lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung. Wir werden in den folgenden drei Kapiteln lineare Differentialgleichungen auch h¨oherer Ordnung ausfu ¨ hrlich behandeln. Hier soll nur gezeigt werden, wie man die allgemeine L¨osung von (5) bestimmen kann, wenn man eine spezielle L¨osung y1 (x) bereits kennt. Die Differentialgleichung hat wie jede homogene lineare Differentialgleichung die L¨ osung y(x) ≡ 0, die ”triviale L¨ osung”.

X Bestimmen Sie nun diejenige L¨osung der obigen Differentialgleichung, die die Anfangsbedingungen y(2) = 8, erfu ¨ llt. y (2) = 2 + e2 50 6. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 6 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Es soll in diesem Kapitel auf den wichtigen Spezialfall eingegangen werden, dass die Koeffizienten der linearen Differentialgleichung Konstanten sind. In diesem Fall - so hatten wir schon im vorigen Kapitel angedeutet - gestattet das Auffinden eines Fundamentalsystems ein wesentlich systematischeres Vorgehen.

Sodann geben Sie die allgemeine L¨osung an. 10: Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung (xy 2 − y 3 ) dx + (1 − xy 2 ) dy = 0 nicht exakt ist. Bestimmen Sie einen nur von y abh¨angigen integrierenden Faktor μ(y) (vgl. Bemerkung (16) ) und l¨osen Sie anschließend die nun fu ¨ r y > 0 und fu ¨ r y < 0 exakte Differentialgleichung. 11: Bestimmen Sie alle nichttrivialen L¨osungen der Differentialgleichung y = y2 1+x·y durch Rollentausch der Variablen (Methode VII). 26 3. Existenz- und Eindeutigkeitsfragen 3 Existenz- und Eindeutigkeitsfragen Dieses Kapitel behandelt die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit von L¨ osungen eines Anfangswertproblems mit einer Differentialgleichung in expliziter Form y (x) = f (x, y(x)) , y(x0 ) = y0 .

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