By Oliver Deiser

Anschließend an Band 1 werden in diesem Buch diejenigen Inhalte präsentiert, die den Analysis-Zyklus vervollständigen und abschließen. Dabei werden ausführlich die Integration, topologische Grundbegriffe und die mehrdimensionale Differentiation behandelt und zudem Fourier-Reihen, gewöhnliche Differentialgleichungen und die mehrdimensionale Integration im Überblick vorgestellt.

Der textual content wendet sich speziell an Studierende des Lehramts Mathematik an Gymnasien sowie an Lehrerinnen und Lehrer. Zahlreiche Aufgaben runden den textual content ab und motivieren eine weitergehende Auseinandersetzung mit dem Stoff. Durch ein hohes Maß an mathematischer Genauigkeit und durch vollständige Beweise bleibt der Anschluss an das Fachstudium gewahrt.

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Da [ c, d ] der Wertebereich von f ist, gibt es ein p ∈ [ a, b ] mit f(p) = m. , es gibt ein F : [a, b] → ‫ ޒ‬mit F′ = f (Intervallsatz der Differentialrechnung von Darboux). Wir werden in 1. 3 zeigen, dass das Produkt f g integrierbarer Funktionen f und g auf [a, b] stets integrierbar ist, sodass diese Voraussetzung in der Definition des gewichteten Mittelwerts und im Mittelwertsatz automatisch erfüllt ist. 1. Das Riemann-Integral 33 Das Integral für komplexwertige Funktionen Wir betrachten nun Funktionen f : [a, b] → ‫ރ‬.

Integrierbare Funktionen Wir untersuchen nun Funktionen verschiedenen Typs auf ihre Integrierbarkeit, unter anderem stetige Funktionen, monotone Funktionen und Funktionen mit beschränkter Variation. Der Frage der gleichmäßigen Approximation durch Treppenfunktionen nachgehend gelangen wir zum Regelintegral, das heute zuweilen anstelle des Riemann-Integrals als „erstes Integral“ gelehrt wird. Im Gegensatz zum Darboux-Integral ist es nicht äquivalent zum Riemann-Integral. Mit der Dirichletschen Sprungfunktion lernen wir ein Beispiel für eine nichtintegrierbare Funktion kennen.

Die reelle Zahl R(f ) heißt das Regelintegral von f. Zu zeigen ist in beiden Schritten die Wohldefiniertheit von R(f ): Man muss zeigen, dass R(f ) nicht von der Wahl der Intervalle Ik und auch nicht von der Wahl der Folge (gn )n ∈ ‫ ގ‬abhängt. Abgesehen von dieser technischen Hürde besticht die Definition durch ihre Übersichtlichkeit. Das elementare Integral für Treppenfunktionen wird durch einen sehr klaren Grenzübergang erweitert. Zusammenfassend halten wir fest: Für alle Regelfunktionen gilt R( f ) = I( f ), aber es gibt Funktionen f, für die I( f ) definiert, aber R( f ) nicht definiert ist.

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