By Euler L.

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Structure and Representation of Jordan Algebras

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3 II (A+E) + (A+E)-A1I~Tr+~Tk ~r+l we- und damit nach IIZ=I/T~I/IIEIIZ. zu ii): Sind 0l, ... ,on mit al~ ... 3. ZZ rg(A+E)~r sein, also hier rg(A+E)=r. Weiter hat und auBerdem hier a r -IIEII Z>O. Also erhalt man II (A+E) +11 2=1 /T~I / (a r -IIEII Zl=IlA +II Z/ (I-IIA+IIZIIEII Z). T~ar-IIEIIZ 0 Bei jeder Matrix, die nicht vollen Rang hat, kann man mit beliebig kleinen Storungen den Rang erh5hen. •. ) Je klei- ner aber IIEII2 ist, die Norm einer solchen rangerhohenden Storung, urn so groBer + +.

Rundungsfehler Bei der Verwendung eines Digitalrechners zur Durchflihrung der Berechnungen in einem Verfahren tritt eine weitere Fehlerart auf, die Rundungsfehler. Sie entstehen, weil auf der Rechenanlage nur eine endliche Menge von reel len Zahlen darstellbar ist; diese nennt man Maschinenzahlen. Durch die flir sie im Rechner verwendete Codierungsform, in aller Regel normalisierte Gleitpunktdarstellung bezliglich einer Basis g mit fester Anzahl t von Mantissenstellen und fester Anzahl von Exponentenstellen, ist eine kleinste und groBte positive Maschinenzahl, xmin bzw.

1 (I) (2) (3) (i-I) (i) (i) si=(x i Yi+si_I)(I+oi)=x i Yi+ x i_I Yi_I+···+ x 3 Y3+ x 2 Y2+ x I YI' Das Ergebnis des Algorithmus ist somit _ (2) (3) (n-I) (n) (n) T~ sn-xn Yn+xn_IYn_I+···+x3 Y3+ x 2 Y2+xI yl=y x, . ~_ (n) wobel x-eXt (n) ,x 2 (n-I) ,x 3 (2) T . , ... ,X n ) 1St. sn ist also das exakt berechnete Skalarprodukt zweier Vektoren y,~EIRn. Die Auswirkungen der auftretenden Rundungsfehler auf das Ergebnis sind aquivalent zu dem Effekt einer Starung in einem der beiden Vektoren bei exakter Berechnung des Skalarprodukts (diese Sterung ist nicht eindeutig bestimmt, man kann sie ebenso gut auch auf beide Vektoren IIverteilenll).

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