By Christophe Mourougane

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Par hypothèse ????????′ est multiple de ????????′ ; on en déduit, comme ???? n’est pas nul que ????′ est multiple de ????′ . De même, ????′ est multiple de ????′ . Par suite, ????′ est multiple de ????′ ????′ , car ????′ et ????′ sont premiers entre eux, donc ???? est multiple de ????????′ ????′ et en particulier, ???? ≥ ????????′ ????′ . Inversement, l’entier ????????′ ????′ vérifie 3. Johann Carl Friedrich Gauss, mathématicien, astronome et physicien allemand (1777–1855). Surnommé le « prince des mathématiques », il est universellement reconnu comme un des plus grands mathématiciens de tous les temps.

Pour alléger les notations, on note ???? l’élément ???? − 0 de Z et −???? l’élément 0 − ????, qui est d’ailleurs l’opposé de ????. 3. NUMÉRATION 33 de notation près, tout entier relatif est ainsi ou bien un entier naturel, ou bien l’opposé d’un entier naturel. Sur Z, on hérite aussi d’une multiplication, définie par ???? × (???? − ????) = ???????? − ???????? et −???? × (???? − ????) = ???????? − ???????? si ????, ???? et ???? sont des entiers naturels. ) La multiplication est commutative, associative et distributive par rapport à l’addition : si ????, ????, ???? ∈ Z, ????(???? + ????) = ???????? + ???????? ; l’élément neutre est, comme sur N, l’élément 1.

Un entier qui n’est pas premier est dit composé. ) Pour déterminer les entiers jusqu’à une certaine borne qui sont des nombres premiers, Ératosthène (1) a inventé le procédé suivant, qu’on appelle crible. On commence par écrire tous les entiers de 2 à, disons 30 : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30. Le premier d’entre eux est premier, on le garde et on raye tous ses multiples. On trouve alors 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.

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