By Prof. Dr. Hans Kaiser, Prof. Dr. Rainer Mlitz, Dr. Gisela Zeilinger (auth.)

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Structure and Representation of Jordan Algebras

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MaYl eJtQeYlnt atho, daB d-te. deJt UYle. Gnuppe. Ylnt div, e. d-te. Ylde. Gnuppe. nteYl. Ahnlich wie Ak in Sk ist die Halbgruppe der Befehlsfolgen an das Boot in der Halbgruppe der Befehlsfolgen an den Zug (s. ) enthalten. Das fUhrt zu den Begriffsbildungen Unterhalbgruppe und Untergruppe: E-tYle TUlmeYlge Uf ~ UYleJt Halbgnuppe < H, . > (bzw. UYleJt Gnuppe < G, . » huB,t uYle UnteJthalbgnuppe. VOyl < H, . > (bzw. UnteJtgnuppe VOyl < G, . " Uyl,,- Halbgnuppe (bzw. ,,t. Man beachte, daB sich der Begriff Unterhalbgruppe (bzw.

H von. < R, . >'<'n. )At.. Wv von. 60 hU/3:t (IJ un. g ))AomOltphM,mlL6. n. n. n. e. n. JL:t. Beispiel: Die Abbildung .... ,. rn(i) ist ein Ringhomomorphismus von < I, +, . > auf < In' + , . >. n. ghomomOltphM,mlL6 von. < R, + , . n. < S, * , 0> gill: 1. (IJ{R) )At. d "0" un. g; 2. )At. < R, + , . h <(IJ{ R), * , 0>; 3. 6 Blid von. 6 un. JL:t) )At. n. < (IJ{ R) , *, 0 >; 4. )At. < R, + , . > un. h «IJ{R) , *, 5. )A t. g von. < R, + , . >, 6. )At. g va n. h:t I(IJ(R) I )A t. g von. 60 )At.

Bzw. UnteJtgnuppe VOyl < G, . " Uyl,,- Halbgnuppe (bzw. ,,t. Man beachte, daB sich der Begriff Unterhalbgruppe (bzw. Untergruppe) immer auf die Operation in der zugrundeliegenden Halbgruppe bzw. Gruppe bezieht! 1m allgemeinen kann eine Halbgruppe Unterhalbgruppen mit voneinander verschiedenen neutralen Elementen enthalten (s. 22). 1m Fall der Gruppen stellt man jedoch durch einfache Rechnung fest, daB das neutrale Element einer Untergruppe stets mit dem neutral en Element der Gesamtgruppe Ubereinstimmt, ebenso wi e das zu u E U in U inverse mit dem zu u in < G, .

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