By N. H. Abel, E. Galois

Zu der hinterlassenen Abllamllullg VOll Abel, S. 57-81. 1 Die Definition der Ordnung eines algebraischen Ausdrucks, wie sie auf Seite sixty seven gegeben ist, ist incorrcct und nach der auf S. 10 angefiihrten zu berichtigen. Die Ordnung eines algebraischen Ausdrucks ist additionally nicht gleich der Anzahl der in ihm ausser den bekannten Grossen auftretenden Wurzelgrossen, sondern vielmehr, wenn guy sich des Symbols V-Wie ublich zur Bezeichnung der Wurzelgrossen bedient, gleich der grossten von denjenigen Zahlen, welche angeben, wie viele solcher Wurzelzeichen sich in dem gegebenen algebraischen Ausdruck uber einander erstrecken. Dabei wird vorausgesetzt, dass, wenn ein Wurzelzeichen einen Index hat, welcher eine zusammengesetzte Zahl ist, dasselbe nach der Formel 1Jtn m -V-= VFso weit umgeformt werde, bis siimtliche Wurzelzeiehen Primzahl exponenten tragen, und dass sich keines dieser Wurzelzeichen durch Ausfuhrung der durch dasselbe angedeuteten Operation beseitigen Hisst. Kommen in einem algebraischen Ausdruck mehrere solcher auf einander oder auf algebrai. che Ausdrucke niederer Ordnung nicht reducierbarer Wurzelgrossen vor, in denen jene, die grosste Anzahl der iiber einander sich erstreekenden 'Wurzelzeichen angebenden Zahlen einander gleich sind, so giebt die Anzahl derselben den Grad des algebraischen Ausdrucks an. - Ist In die Ordnung des algebraischen Ausdrucks und bezeichnet guy die einzelnen Wurzelgrossen in der Reihenfolge, wie sie numerisch berechnet werden ter mussen, um den Wert der Wurzelgrosse m Ordnung zu erhalten, mit ""m-l . . . .

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37 The natural maps yield an isomorphism of the form as required. 34 simplifies to become Proof. Let 1,XI, ~ To be precise, if 2 ~ , 1 x denote 2 the four one-dimensional representations of Q8. Q8 = {x, y 1 x2 = y2, y4 = 1,xyx = y) set xl(x) = -1 = x2(y) and xl(y) = 1 = x2(x). Suppose that f : R(Q8) --+ Za is a homomorphism. By inflation f induces a homomorphism on R(Qgb). Since Since determinantal functions on R(Q8) take values in Z; there is a short exact sequence of the form Ram this sequence we see that there is an isomorphism of the form When p is an odd prime then every function in Hom(R(Q8), Z;) is a determinantal function because in this case Zp[Q8] is a maximal order in QP[Q8]Hence, if p is odd, then TorsKO(Z, [Q8];Qp) = 0.

Q8 = {x, y 1 x2 = y2, y4 = 1,xyx = y) set xl(x) = -1 = x2(y) and xl(y) = 1 = x2(x). Suppose that f : R(Q8) --+ Za is a homomorphism. By inflation f induces a homomorphism on R(Qgb). Since Since determinantal functions on R(Q8) take values in Z; there is a short exact sequence of the form Ram this sequence we see that there is an isomorphism of the form When p is an odd prime then every function in Hom(R(Q8), Z;) is a determinantal function because in this case Zp[Q8] is a maximal order in QP[Q8]Hence, if p is odd, then TorsKO(Z, [Q8];Qp) = 0.

In this case, recalling the isomorphism of Galois modules G(L/K) = (a, g I gd = ac, a' = 1, gag-1 = a") where v = IKI, the order of the residue field, K,of K . Here, if W/K is the maximal -unramified subextension then G(L/W) = (a) and the image of g in G(L/K) is the Frobenius automorphism. Note that, as in ([34] p. 369), we may arrange that c is a divisor of r. When char(K) = p > 0 we may arrange that c = r, since K Fv((X)) and L is a Kummer extension of L(") = FVd((X)). 22. Set q = v2 and let w be an integer satisfying the congruence vw = 1 (modulo (qd - I ) ~ )Here .

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