By Fokkinga M.M.

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Structure and Representation of Jordan Algebras

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Die Gesamtheit aller n! Permutationen wird übrigens symmetrische Gruppe genannt und mit Sn bezeichnet. Zu ihr gehört immer auch die alles auf ihrem Platz belassende identische Permutation, oft einfach auch als Identität bezeichnet. Die Erkenntnis, dass alle Zwischenwerte der bekannten Lösungsformeln für die allgemeinen Gleichungen bis zum vierten Grade Polynomen in den Lösungen x1, x2, ... entsprechen, verdanken wir Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Lagrange, der Dank der Förderung durch Friedrich II.

Entsprechend sind die vier Zahlen x1, x2, x3 und x4 Lösungen der folgenden biquadratischen Gleichung: x 4 − ( x1 + x 2 + x3 + x 4 ) x 3 + ( x1 x 2 + x1 x3 + x 2 x 3 + x1 x 4 + x 2 x 4 + x 3 x 4 ) x 2 − ( x1 x 2 x 3 + x1 x 2 x 4 + x1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 ) x + x1 x 2 x 3 x 4 = 0 30 Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften Schließlich führte Viète noch an, wie man eine Gleichung fünften Grades passend zu den vorgegebenen Lösungen x1, x2, x3, x4 und x5 findet: x 5 − ( x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) x 4 + ( x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 + x1 x 4 + x 2 x 4 + x3 x 4 + x1 x5 + x 2 x5 + x3 x 5 + x 4 x 5 ) x 3 − ( x1 x 2 x 3 + x1 x 2 x 4 + x1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 + x1 x 2 x 5 + x1 x3 x5 + x 2 x3 x5 + x1 x 4 x5 + x 2 x 4 x5 + x3 x 4 x5 ) x 2 + ( x1 x 2 x 3 x 4 + x1 x 2 x3 x5 + x1 x 2 x 4 x5 + x1 x3 x 4 x 5 + x 2 x 3 x 4 x 5 ) x − x1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 0 Viètes Beispiel zur letzten Aussage ist die eingangs gestellte Aufgabe.

Dann erkennt man nämlich die für beliebige komplexe Zahlen x + yi geltende Identität ex + y i = ex (cos y + i⋅sin y). 18 Casus irreducibilis – die Geburtsstunde der komplexen Zahlen i ϕ cos ϕ Bild 6 sin ϕ 1 Darstellung einer auf dem Einheitskreis gelegenen komplexen Zahl in der Form cos ϕ + i ⋅ sin ϕ . 3. Bevor wir zum casus irreducibilis zurückkehren, wollen wir die zuletzt gesammelten Erkenntnisse auf die Gleichung x3 −1 = 0 anwenden. Im Bereich der reellen Zahlen ist offensichtlich x1 = 1 die einzige Lösung der Gleichung.

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